父名義の保険を自分名義に変更したいのですが、可能ですか？等級の扱いはどうなりますか？

可能です。名義を変更する場合、条件を満たせば等級を引き継ぐことができます。

自動車の記名被保険者を変更する場合、親族間では等級を引き継げる可能性があります。等級引き継ぎができるのは配偶者、同居親族などに限られます。